H18 Inflaation ja työttömyyden vuorovaikutus

Malli o Esimerkki 1
1. Eksogenisoidaan inflaatio-työttömyys mallissa
2. Tekstissä inflaatio-työttömyysmalli
3. Korvataan adaptiivisten odotusten hypoteesi
4. Palataan esimerkkiin 1. Säilytetään yhtälöt

Malli

p = a - T - b U + h p* (0 < h 1) (15.33)

dp*/dt = j (p - p*) (0 < j 1) (15.34)

dU/dt = - k (m - p) (k > 0) (15.35)

1. Eksogenisoidaan inflaatio-työttömyys mallissa muuttuja U. Mallista siis poistetaan yhtälö (15.35).

a) Millainen differentiaaliyhtälö syntyy?

Vastaus:

Silloin dU/dt = 0 ja lausekkeen

oikean puolen ensimmäinen termi häviää.

Saadaan (15.37) uusi versio:

Tämä supistuu tekijällä dp*/dt jakaen ja termejä siirrellen (15.34) tulee muotoon

dp*/dt = - j (1 - h)

b) Montako karakteristista juurta saadaan? Onko nyt mahdollista aaltoilu komplementtifunktiossa?

Vastaus:

Ei kompleksijuuria, ei aaltoilua.

2. Tekstissä inflaatio-työttömyysmalli tiivistettiin muuttujan p* differentiaaliyhtälöksi. Osoita, että malli voidaan yhtä hyvin tiivistää toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöksi muuttujan U suhteen ja että silloin kertoimet a₁ ja a₂ ovat samat kuin yhtälössä (15.37''), mutta että vakiotermi on erilainen.

Vastaus:

Derivoidaan ajan suhteen (15.33) ja saadaan

Samoin derivoidaan (15.35) ja saadaan

Kun edellinen sijoitetaan tähän, saadaan (15.34) käyttäen

Muuttujista p ja p* irti pääsemiseksi auttaa havainto, että (15.35) mukaan todellisten hintojen riippuvuus työttömyys-asteen muutoksesta ja rahan tarjonnasta on:

Seuraavaksi ratkaistaan (15.33) muuttujan p* suhteen. Saadaan, kun näin saatavaan lausekkeeseen sijoitetaan juuri saatu lauseke (15.35')

Näin saadut vain muuttujaa U sisältävät muuttujien p ja p* lausekkeet sijoitetaan työttömyysasteen toisen derivaatan lausekkeeseen ja saadaan

Eroa tekstissä johdettuun inflaatio-odotusten yhtälöön on siis vain vakiotermissä b (Tässä: j k [a - T - (1-h) m], mutta edellä inflaatio-odotusten yhtälössä jkbm).

3. Korvataan adaptiivisten odotusten hypoteesi (15.34) 'täydellisen ennakkotietämyksen' hypoteesilla p* = p, mutta pidetään voimassa relaatiot (15.33) ja (15.35).

a) Johda differentiaaliyhtälö muuttujalle p.

Vastaus:

Yhtälöstä (15.33) saadaan hintayhtälön aikaderivaatta

Tähän voidaan nyt sijoittaa yhtälö (15.35). Kun pidetään mielessä, että (15.34) antaa inflaatio-odotusten muutokseksi nollan,

dp*/dt = j (p - p*) = 0 [p - p* = 0] (15.34)

saadaan

dp/dt = b k (m - p)

Sijoittamalla yhtälöön (15.33) yhtälösstä (15.35) saatava työttömyyden aikaderivaatta dU/dt saadaan lopputulos

dp/dt + (b k) p = b k m

b) Johda differentiaaliyhtälö muuttujalle U.

Vastaus:

Yhtälöstä (15.33) saadaan silloin (= olettaen: p = p*)

p = (a - T - b U)/(1 - h) (15.33'')

Sijoittamalla tämä yhtälöön (15.35) saadaan

c) Millä tavoin yhtälöt kohdissa a) ja b) eroavat adaptiivisten odotusten hypoteesin mukaisista selvästi.

Vastaus:

Molemmat ovat ensimmäisen kertaluvun differentiaali-yhtälöitä.

d) Millä parametrirajoituksella uudet differentiaaliyhtälöt saadaan mielekkäiksi?

Vastaus:

h <>1

Esimerkki 1

p = 1/6 - 3 U + p* (15.40)

dp*/dt = 3/4 (p - p*) (15.41)

dU/dt = - 1/2 (m - p) (15.42)

4. Palataan esimerkkiin 1. Säilytetään yhtälöt (15.41) ja (15.42), mutta korvataan yhtälö (15.40) yhtälöllä

p = 1/6 - 3 U + 1/3 p*

a) Määritä aikaurat p(t), p*(t) ja U(t).

Vastaus:

Yhtälön kertoimista saadaan parametrien arvot b = 3, h = 1/3, (j = 3/4 ja k = 1/2, kuten ennenkin). Yhtälön (15.37'') mukaan taas saadaan

a₁ = b k + j (1 - h) = 2

a₂ = j b k = 9/8 ja

b = j b k m = 9/8 m

Erityisratkaisu on b/a₂ = m.

Tässä tapauksessa edelleen (4 = a₁²) < (4 a₂= 4,5) ja karakteristiset juuret ovat kompleksiset:

Tämä merkitsee, että h = - 1 ja . Vastaavasti inflaatio-odotusten yleinen ratkaisu on

Tästä voidaan johtaa myös muuttujien U ja p aikaurat. Lausekkeen (15.41) mukaan p voidaan ilmaista termein, jotka sisältävät ilmaukset p* ja dp*/dt käyttäen yhtälöä

p = 4/3 dp*/dt + p*

Aikaura p* ratkaisussa (15.43) voidaan derivoida. Saadaan

dp*/dt = - e^-t (A₅ cos t + A₆ sin t)

+ e^-t (- A₅ sin t + A₆ cos t)

[ tulosäännön ja ketjusäännön avulla ]

Käyttäen hyväksi ratkaisua (15.43) ja sen derivaattaa, saamme

p(t) = 1/3 e^-t

[(A₆ - A₅) cos t +( A₅ + A₆) sin t)]

+ m (15.44)

Kuten odotetun myös tämä todellisen inflaation aikaura aaltoilee vaimentuen tasapainoarvon m ympärillä.

Työttömyysasteen U aikaura:

yhtälöstä (15.40) nähdään, että se voidaan ilmaista muuttujien p* ja p avulla:

U = 1/9 (p* - 1/3 p) + 1/18

Ratkaisujen (15.43) ja (15.44) perusteella voimme kirjoittaa työttömyysasteen aikauran

U(t) = 1/9 e^-t [(2A₅ - A₆) cos t

+ (A₅ + 2 A₆) sin t] + 1/18 - 2/9 m

Tämäkin aikaura merkitsee vaimenevaa aaltoilua, mutta alkuperäisestä esimerkistä poiketen dynaamista työttömyysasteen U aikauran tasapainoarvoa 1/18 - 2/9 m.

Eli luvun viimeisessä lauseessa esitetty salaperäinen parametri on yhtälön (15.33) parametri h. Kun sen arvo muuttui ykkösestä luvuksi 1/3, työttömyyden tasapaino tuli riippumaan reaalisen rahan tarjonnan muutosnopeudesta. Keskuspankki voi siis sittenkin vaikuttaa työttömyyteen: mitä enemmän reaalista rahan tarjontaa, sitä pienempi työttömyys.

b) Aaltoilevatko aikaurat vieläkin? Konvergoivatko?